Kurzfassung
In dieser Arbeit wird die numerische Technik „Variation von Matrixproduktzuständen“ mit einem besonderen Augenmerk auf die Implementierung einer nicht-abelschen SU(2)-Symmetrie sowie der effizienten Konstruktion und Kompression sogenannter Matrixproduktoperatoren dargestellt. Die Methode wird angewandt, um die quantenmechanischen Grundzustände verschiedener Systeme zu bestimmen: magnetisch frustrierte Moleküle, die wechselwirkenden Protonen und Neutronen in Atomkernen, sowie ein supraleitendes Substrat mit magnetischen Adatomen, die als Störstellen auf dem Substrat platziert werden.
Das antiferromagnetische Heisenberg-Modell auf der frustrierten C60-Geometrie liefert einen Spin-Singulett-Grundzustand mit einer kurzreichweitigen und exponentiell abfallenden Spinkorrelation. Dasselbe Modell wird mit dem Sodalite-Cage-Molekül auf einer weiteren käfigförmigen frustrierten Geometrie betrachtet, die dem Kagome-Gitter ähnelt. In diesem Fall ist der Grundzustand gegeben durch ein entartetes Spin-Singulett, das die räumliche Symmetrie des Moleküls bricht. Die besondere Anordnung der Atome in diesem Molekül lässt das Auftreten von lokalisierten Magnonen zu, welche zu breiten Plateaus in der Magnetisierungskurve führen.
Das Kernpaarungsproblem, also die effektive Wechselwirkung zwischen Protonen und Neutronen in Atomkernen, kann auf ein Gittermodell abgebildet und dann mit der obengenannten Methode untersucht werden, die ursprünglich für die theoretische Beschreibung von Systemen kondensierter Materie entwickelt wurde. Es stellt sich heraus, dass bei Singulett-Kopplung der Nukleonen der Grundzustand sehr wenig Quantenverschränkung aufweist und damit sehr gut für eine Untersuchung mithilfe von Matrixproduktzuständen geeignet ist. Die experimentellen Werte der sogenannten Even-Odd-Massenunterschiede für Zinn und Blei können mit hervorragender Genauigkeit reproduziert werden. Die Struktur der Verschränkung für verschiedene Füllgrade kann genutzt werden, um magische Zahlen für die Nukleonen zu finden. Da die betrachteten Systeme nicht inhärent eindimensional sind, ist es nötig, die beteiligten Matrixproduktoperatoren effizient zu konstruieren und zu komprimieren, denn die Abbildung auf eine lineare Kette erfordert langreichweitiges Hopping.
Für zwei Quanten-Spins mit Länge 1/2, die auf einem eindimensionalen konventionell supraleitenden Substrat von Elektronen platziert werden – beschrieben durch ein Kondo-Störstellenmodell mit BCS-Supraleitungs-Termen für das Substrat – wird der Wettstreit zwischen Kondo-Singulett-Bildung und indirektem magnetischen Austausch vom RKKY-Typ untersucht. Für kleine Austauschwechselwirkungen J unterliegen die Störstellen einer indirekten magnetischen Wechselwirkung durch das Substrat. Eine emergente Austauschwechselwirkung JRKKY wird mittels einer Störungstheorie-Rechnung bis zur zweiten Ordnung in der Stärke der Austauschwechselwirkung hergeleitet. Für einen geraden atomaren Abstand der Störstellen und für anwachsende supraleitende Paarungsstärke |∆| wechselt diese emergente Austauschwechselwirkung ihr Vorzeichen, sodass das System einen Phasenübergang zwischen einem RKKY-Singulett und einem RKKY-Triplett aufweist. Für stärkere Austauschwechselwirkungen zeigt das System eine partielle Kondo-Abschirmung, bei welcher nur eine der beiden Störstellen mit dem Substrat ein Singulett bildet und die andere ungekoppelt bleibt. Für noch größere Austauschwechselwirkungen geht das System schließlich in einen Zustand über, in dem beide Störstellen unabhängig voneinander durch das Substrat abgeschirmt werden. Für einen ungeraden Störstellen-Abstand wird ein stetiger Übergang zwischen einem RKKY-Singulett-Regime und einem lokalen Kondo-Abschirmungs-Regime gefunden.
Durch Betrachtung eines Modells mit nur drei Gitterplätzen wird die Kondo-vs.-RKKY-Physik für kleinste konventionell supraleitende Systeme untersucht. Dabei ist die Energielücke, die auf die endliche Systemgröße zurückzuführen ist, groß, und der Finite-Size-Kondoeffekt dominiert für kleine Parameter J und |∆|. Für dieses Modell wird außerdem ein selbstkonsistenter Ansatz gewählt, bei welchem das System seine lokalen Paarungsstärken flexibel anpassen kann. Die Topologie beider Phasendiagramme ist identisch.
In this thesis the computational technique Variation of Matrix Product States is examined with a special focus on the implementation of a non-Abelian SU(2) symmetry and the efficient construction and compression of so-called matrix product operators needed for calculations building upon matrix product states. This method is applied to determine quantum-mechanical groundstates of various systems, namely magnetically frustrated molecules, the interacting protons and neutrons in an atomic nucleus, and a superconducting host with magnetic adatoms as impurities. The antiferromagnetic Heisenberg model on the frustrated C60 fullerene geometry yields a spin-singlet groundstate with a short-range and exponentially decaying spin correlation. The same model is investigated on another frustrated geometry: the sodalite cage molecule, which is a molecular version of a capped kagome lattice. The groundstate is found to be a degenerate singlet of spin that breaks the spatial symmetry of the molecule. The particular arrangement of atoms in this molecule allows for localized magnons, which give rise to broad magnetization plateaus. The nuclear-pairing problem, i. e., the effective interaction between protons and neutrons in atomic nuclei, can be mapped onto a lattice model and then be studied using the above-mentioned method, which was originally developed for the description of condensed-matter systems. It turns out that for singlet coupling of the nucleons the groundstate exhibits surprisingly low entanglement and is therefore well-suited for an investigation based on matrix product states. The experimental values for the so-called even-odd mass differences for tin and lead can be reproduced with excellent agreement. The entanglement structure of the nuclei for different fillings can be used to detect magic numbers for nucleons. Since these physical systems are not inherently one-dimensional, it is essential to use efficiently constructed and compressed matrix product operators, because the mapping to a chain introduces long-range hopping. For two quantum spin-1/2 impurities located on top of a one-dimensional conventionally superconducting host of electrons described in terms of a Kondo impurity model with a BCS host system, the competition between Kondo-singlet formation and indirect magnetic exchange of the RKKY-type is studied. For weak exchange couplings J the impurities are subject to an indirect magnetic exchange mediated by the substrate. An emerging indirect magnetic exchange coupling JRKKY is derived using second-order perturbation theory in J. For an even atomic distance between the impurities and with increasing superconducting pairing strength |∆|, the emergent coupling changes its sign, leading to a phase transition between an RKKY singlet and an RKKY triplet. For stronger exchange couplings the system exhibits a partial-Kondo-screening phase in which only one impurity is screened. Finally, for large exchange couplings, the system enters a local-Kondo-singlet phase, in which both impurities are screened individually. For an odd impurity distance there is a smooth crossover between an RKKY singlet and a singlet with local Kondo screening. By considering a toy model with only three lattice sites, the Kondo-vs.-RKKY physics in a quantum box is studied for a conventional superconductor. Here the finite-size gap is large and the finite-size Kondo effect dominates at very weak J and |∆|. This model is also investigated by means of a self-consistent approach in which the system can adjust the local pairing strength. The topology of the self-consistent phase diagram is the same as for the toy model with preset pairing strength.